Gyllene snittet Ända sedan de gamla grekernas tid har människan förundrats över det så kallade gyllene snittet. För att enkelt beskriva det gyllene snittet kan man säga att det är ett förhållande mellan sidorna i en rektangel. Den långa sidans längd förhåller sig till den korta som både den långa och korta tillsammans gör till den långa.(se skiss bilaga 1) Många föremål nuförtiden har fortfarande samma form som den vackra gamla rektangeln, för att bara nämna några nästan alla nationers flaggor, många böcker, tidningar och A4 papperet. I en fotboll, som egentligen består av tolv regelbundna femhörningar och tjugo regelbundna sexhörningar, är förhållandet mellan en sida och diagonalen just gyllene snittet. Den första modellen till en fotboll skapades redan på 200 talet f.Kr. av Arkimedes. Arkimedes var den störste av de grekiska matematikerna och vetenskapsmännen. Jag valde detta ämne därför att jag blev otroligt intresserad av det gyllene snittet så snart jag hörde talas om det. Jag trodde att växternas sätt att sätta blad inte hade något som helst samband. Men när jag såg ett TV program om det gyllene snittet där man visade att det verkligen hänger ihop med matematik undrade jag genast vad som mer hade samband med det gyllene snittet. Jag läste om hur det gyllene snittet påverkat musik, arkitektur och målning. Därför att det är den ordningsamma delen av naturen som samtidigt hänger ihop med arkitektur och musik tycker jag att det är intressant att skriva ett specialarbete om det gyllene snittets historia, visa vilka olika sätt som man kan konstruera det på och vad det har påverkat. 2. Avhandling 2.1. Geometrisk konstruktion av det gyllene snittet För att rent geometriskt konstruera det gyllene snittet kan man börja med en kvadrat - bara ett av de många sätt som man kan konstruera det på.(se bilaga 2). Kvadraten ABCD bassida, BC, delas på mitten. Denna halva sida kallar vi för E. E binds samman med D. Linjen ED "fälls ned" med hjälp av en passare så att den sammanfaller med bassidan BC. Nu delar punkten C Hela den nya linjen BF i det gyllene snittet. Man kan se det mycket märkliga förhållandet mellan sidorna i denna nu bildade gyllene rektangel (se bilaga 1 och 2) om man ger sidorna bestämda längder. Om CD = 1 är BF = 1,618 Om BF = 1 är CD = 0,618 618 finns alltså med i båda fallen, vilket är mycket konstigt. Det finns ännu ingen som lyckats bevisa eller förklara varför 618 finns med i båda fallen. Men 618 är alltså det gyllene snittets tal. 2.2. Från början Cheopspyramiden, som byggdes omkring år 2800 f.Kr., har med de andra egyptiska pyramiderna gett upphov till en kanske något konstigt vetenskapsområde - pyramidforskning. Genom att använda egyptiernas gamla måttsystem, de så kallade "heliga alnarna", har forskarna lyckats komma fram till att forntidens egyptier byggt in mycket avancerade fakta i sina pyramider. Det sägs att man till exempel funnit att de har beräknat ett mycket bra närmevärde på jordens omkrets och en almanacka som mäter året och dagens längd med mycket stor precision, men det är enligt Tord Hall i Forskning och framsteg nr 5 1984 rent nonsens. Hall tycker att det beror på att en stor våg om det ockulta "sveper in" över vår kultur just nu. Men på en punkt är Hall helt med på vad pyramidforskarna kommit fram till - det gyllene snittet i pyramiden. Det gyllene snittet finns i Cheopspyramiden i det förhållande som finns mellan lutningen på dess sidoytor och dess basyta. Cheopspyramiden består av en kvadrat som basyta och fyra likbenta trianglar som sidoytor.(se bilaga 3). Elementen har påverkat pyramiden och dess ursprungliga form är inte bevarad. Man har uppskattat vinkeln mellan basytan och sidoytorna till 51,83 grader. När man vet storleken på vinkel V (se skiss bilaga 3) kan man beräkna förhållandet mellan halva baslinjen och sidoytans höjd. Det visar sig då att detta förhållande är 5 till 8, alltså så som proportionen i det gyllene snittet. Samma förhållande går igen på många andra håll i antiken, till exempel hos grekiska vaser, skulpturer och byggnadsverk. Det mest kända exemplet är Templet Partenon i Aten som byggdes omkring 500 f Kr. Den gyllene rektangeln omsluter templets fasad (se bilaga 4). 3. Det gyllene snittet i antikens matematik Trots att många av antikens matematiker försökte sig på att lösa det matematiska "problemet" bakom "snittet", som man då kallade det vi i dag kallar "det gyllene snittet", så dröjde det ända tills Pythagoras från Samos (ca 580 - 500 f Kr) tills någon för första gången "fick kläm" på vad snittet verkligen är. Pythagoras slog sig ned i Kroton i Syditalien och grundade sin skola, den så kallade pythagoréiska skolan. Den var ett slags studiecentrum, som från början var ett mycket slutet ordenssällskap. Där diskuterades många olika ämnen - förutom naturvetenskap och filosofi också medicin, hygien och etik. Pythagoras är i det närmaste en legend därför att inga av hans skrifter har bevarats. Det är förresten inte så underligt, eftersom pythagoréernas kunskaper länge bevarades i muntlig form. Med mycket allvarliga hot om stränga straff för den som pratade "bredvid mun". Resultaten av denna periods diskussioner skrevs inte ner för än långt senare av framför allt Platon, Aristoteles och Euklides. Pythagoréernas största insats för mänskligheten är nog att de lyckades beskriva att naturföreteelserna kan beskrivas med tal mycket bättre än de som tidigare försökt. De kom fram till sina upptäckter genom enkla experiment. 3.1. Rationella tal Med tal menade pythagoréerna vad vi nu kallar positiva rationella tal, det vill säga tal i formen p / q, där p och q tillhör de naturliga talen 1, 2, 3, och så vidare. Storheter som kan uttryckas på detta sätt kallade de kommensurabla - det vill säga storheter med gemensamma mått, eller jämförbara storheter. De kan alltså jämföras med varandra, därför att de utgör multiplar av en lämpligt vald måttenhet. När de till exempel skulle jämföra längden på två stavar, använde de en gammal hantverksregel, som säkert var känd långt före pythagoréerna. Jag väljer ett enkelt exempel : Om en stav är sju (7) meter lång och en annan är två (2) meter lång och vi vill mäta den längre staven med hjälp av den kortare,(Se bilaga 5).Vi flyttar den mindre staven tills den går förbi den större. Sedan vänder man och mäter den del av den kortare som inte "täcker" den längre staven (den är då en meter lång). Om man nu skäller upp ett räkneschema, som nu kallas för en algoritm, ser det ut så här : 7 = 3 * 2 + 1 2 = 2 * 1 Denna algoritm var först nedskriven och använd av Euklides (ca 300 f.Kr.). Den kan användas för att räkna ut den största divisorn till två heltal. I just detta tal finns ingen annan gemensam divisor förutom talet ett (1) men vi fick ju fram att förhållandet mellan den korta och den långa staven är 2 / 7. Detta är ju ett enkelt sätt att räkna, med tal som går "jämt upp" i varandra eller går delvis "jämt upp" och efterlämnar en "rest". Tal vars algoritmer aldrig "stannar" som i detta exempel kallade grekerna inkommensurabla eller som vi i dag säger irrationella. 3.2. Irrationella tal Upptäckten av de nuförtiden kallade irrationella talen, (eller de av grekerna kallade inkommensurabla) i detta fall kvadratrötter, är antagligen grekernas största matematiska insats. Den ansågs tidigare ha varit när man efter Pythagoras` sats skulle beräkna längden av diagonalen i en kvadrat med sidan ett (1). Diagonalens längd skall bli SPECIALTECKEN 214 \f "Symbol"2 och då sägs det att hela Pythagoras världsbild rasade. Han kunde inte förstå att ett det fanns ett tal som gånger sig självt blev två (2). Beviset för att SPECIALTECKEN 214 \f "Symbol"2 är ett irrationellt tal - det vill säga att det ej kan skrivas efter formeln p / Q - finns i Euklides Elementa. Det är ett så kallat indirekt bevis - som är ett av grekernas stora uppfinningar - men som ändå har en mycket sofistikerad karaktär. Man har därför börjat undra om upptäckten kunde ha skett på ett enklare sätt. Här kommer uppslagen från en av de fem (5) regelbundna polyedrarna, den så kallade dodekaedern. 4. Femhörningen Femhörningen och i den - den femuddiga stjärnan, eller pentagrammet som den också kallas, har genom historien hört till "de mörka krafterna". En del anser att fem är ondskans tal, med krafter och hemligheter som de invigda inte får avslöja. Allkemisterna, som trodde att de kunde framställa guld av mindre ädla metaller, hade den femuddiga stjärnan som tecken. I Faust av Johann Wolfgang Goethe finns ett pentagram inristat på tröskeln till doktorns studiekammare. Det ställer till förtret för Mefistfeles. Även i nutida storpolitiska och nationella sammanhang har pentagrammet bevarat sin symbolkraft. Det finns i USAs flygvapen märke och i arkitekturen till militärhögkvarteret Pentagon, där även namnet har präglats. Den gamla Sovjetstjärnan är också den ett pentagram. Om man skall dela in en oändlig yta i liksidiga lika stora formar finns det bara tre olika stycken som kan användas. Triangeln ,kvadraten och sexhörningen. Tre -, fyra - och sexhörn men inte fem. Femhörningar kan inte sammanfogas utan att det uppstår tomrum mellan dem. Om man "tvingar" femhörningar att mötas får man inte längre en yta, det blir en kropp i rummet. Femhörningen och den femuddiga stjärnan är fyllda av gyllene snitt (se bilaga 6). Alla linjer delar varandra så att den längsta linjen förhåller sig till den kortaste som hela linjen till den längsta. Femhörningens sida förhåller sig till stjärnsidan som stjärnsidan till de båda tillsammans. Inne i stjärnan finns det en ny femhörning och en ny stjärna och så vidare i all oändlighet. Men om 12 femhörningar fogas samman sida mot sida och spets mot spets träder de ut i rummet som en dodekaeder. Dodekaedern är den förnämsta av alla de mångsidiga kropparna, eller polyedrarna som de kallas. Inuti dodekaedern ryms de andra polyedrarna (tetraedern, hexaedern, oktaeden och ikosaedern) eller tre gyllene rektanglar vinkelrätt mot varandra. Om man rundar av alla hörn och kanter på en dodekaeder förvandlas den till den vackraste och mest fulländade av alla former - sfären eller klotet som det oftast kallas. Möjligheten att femhörningen ger det första beviset för existensen av irrationella tal dyker först upp hos Jamblichos (ca 300 e Kr). Han berättar att Pythagoréen Hippasos (ca 450 f Kr) troligen var den förste som offentligt beskrev dodekaedern. Han straffades troligen av någon av de andra pythagoréerna på så att han "som en gudlös man omkom i havet". Denne Hippasos nämns alltså som upptäckare av de inkommensurabla storheterna. Han jämförde - inte som de som tidigare gjort räkneexempel diagonalen och sidan i en kvadrat, vilket är möjligt med en besvärlig algoritm - utan motsvarande sträckor i en regelbunden femhörning (se bilaga 7).I figuren är diagonalerna dragna - de bildar den tidigare nämnda femuddiga stjärnan eller pentagrammet - och vi får en ny regelbunden femhörning inne i den första. Om vi här använder algoritmen för att jämföra en diagonal med en sida, så hamnar vi i den inre femhörningen, där samma process kan fortsättas. Vi får allt mindre och mindre femhörningar, men algoritmen stannar aldrig. En diagonal och en sida i en regelbunden femhörning måste därför vara inkommensurabla storheter. Grekerna kunde även räkna ut förhållandet mellan sidan och diagonalen. Det är just snittet 1 / 2 (SPECIALTECKEN 214 \f "Symbol"5 -1). Härav följer att SPECIALTECKEN 214 \f "Symbol"5 och inte SPECIALTECKEN 214 \f "Symbol"2 bör vara det först upptäckta irrationella talet. 5. Det gyllene snittet i medeltidens matematik 5.1. Fibonacci, "Leonardo från Pisa" På 1100- och 1200 talen uppstod det mäktiga handelsstäder i Italien. Städer som Genua, Pisa, Venedig och Florens drev livlig handel med arabvärlden. Italienska handelsmän besökte Orienten och studerade dess kultur. Marco Polo är bara ett exempel på dessa handelsmäns framåtanda. De "passade på" att studera den äldre kulturens vetenskap och konst, inte bara i reproduktionsssyfte utan också för att utnyttja sina erfarenheter hemma i Italien. Den som först visade prov på sina matematiska kunskaper efter dessa handelsresor var Fibonacci eller Leonardo från Pisa som han också brukar kallas. Han reste runt Orienten som köpman. När han kom hem till Italien skrev han sin bok "Liber abaci" (1202), som är fylld med aritmetiska och algebraiska fakta inhämtade under dessa resor. I arbetet "Practica geometriae" (1220) beskrev Fibonacci på samma sätt vad han lärt i geometri och trigonometri. Han var samtidigt nyskapande, därför att hans arbete innehåller en hel del som inte finns i tidigare arabiska verk. Han citerar den arabiske matematikern al-Chwarizmi, i diskussionen av ekvationen x2 + 10x = 39. Det problem som ledde till "Fibonaccis serie". Fibonaccis serie, eller Fibonaccis talföljd som den också kallas, sägs basera sig på problemet med kaninerna, ett av matematikens klassiska problem. "Om man placerar ett kaninpar i ett inlycke för att ta reda på hur mycket avkomma ett dylikt producerar under loppet av ett år, om varje kaninpar föder ett nytt par varje månad, från och med den andra månaden i sitt liv". Det första paret föder ett par under den första månaden, varför det finns två par vid den första månadens slut. Av dessa två par föder det första ett nytt par under den andra månaden, medan det andra inte ger någon avkomma under denna månad. Vid andra månadens slut är alltså antalet kaninpar 3 (=1 + 3). Under tredje månaden föder två av dessa var sitt par, varför antalet par vid tredje månadens slut är 5 (=2 + 3). Tre av dessa par ger avkomma under nästa månad och antalet par har nu vuxit till 8 (=3 + 5). Av dessa åtta ger fem par avkomma under den femte månaden, efter den femte månadens slut är antalet par nu 13 (=5 + 8). Och så vidare. Efter den tolfte månadens slut är man uppe i 377 par. De tal, som vid varje månads slut anger den totala avkomman är alltså Fibonaccis tal. En märklig egenskap hos Fibonaccis tal är att om man kvadrerar dem så får man (om den första termen utelämnas) 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441, 1156, .... ; om nu på varandra följande tal adderas, blir resultatet en delföljd av Fibonaccis följd ; 5, 13, 34 ,89, 233, ... 5.2. Fibonaccis talföljd Fibonaccis talföljd - Un är alltså en talföljd där varje tal är lika med summan av de två föregående. Un = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Talföljden kan fortsätta i all oändlighet. Kvoten mellan detta tal och det närmast efterföljande bildar en ny talföljd: 0, 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, ... Ganska snart kommer man nära det gyllene snittet och redan från det åttonde talet och framåt blir kvoten alltid det gyllene snittet, eller snarare ett närmevärde till det. 6. Den underbara spiralen Även i naturen finns det exempel på det gyllene snittets fulländade proportion. I bland annat solrosens blomma återfinns den så kallade logaritmiska spiralen (se bilaga 8), som kan konstrueras med hjälp av en gyllene rektangel. Spiralen kallas också den underbara spiralen. Hos solrosen bildar de små blommorna sådana spiraler. De växer med spiraler åt två håll, en med 34 blommor närmast mitten och den andra med 55. Varför har ingen riktigt kunnat visa ännu. När en växt sätter nya blad sörjer den för att det nya bladet inte skuggar det gamla. Bladen växer i spiraler runt stjälken. Efter det tredje (3) bladet har vi kommit 3 / 4 varv runt stjälken. Vid det fjärde bladet har vi för första gången kommit förbi det första. Då det åttonde (8) bladet har växt ut är man för första gången ovanför det första och en ny serie har påbörjats. Antalet blad och serier är alltid två (2) Fibonacci tal där det mellanliggande har hoppats över. Andra exempel på växter som har det gyllene snittet i sig är : Nässelklockan, Grodbladet, Almen, Starren och ananasen. 7. Tillväxt och förvandling Det finns många andra samband mellan det gyllene snittet, Fibonacci talen och den logaritmiska spiralen. Det finns två bra exempel på detta. Det första är att den logaritmiska spiralen har ett matematiskt uttryck i form av en så kallad exponentialfunktion. Sådana funktioner beskriver inte bara det organiska livets tillväxt utan också oorganiska förlopp som till exempel explosionen av en vätebomb. Det andra är rent estetiskt. Spiralens geometriska egenskaper undersöktes efter differential- och integralkalkylens genombrott under slutet av 1600-talet och början av 1700-talet. Det visade sig då att ur spiralen härledda kurvor, till exempel evolutan, fotpunktskurvan och kaustikan, återigen blir logaritmiska spiraler. 8. Musik Människan har njutit av musik i tusentals år. Man har grävt fram flöjter, som används för samma skalor som vi använder ännu idag, ur mammutjägarnas grottor. Pythagoras förstod sig på mycket annat än tal och geometri - musiken var också en vetenskap som han ägnade sig åt. Han upptäckte att det uppkommer ljud så snart något försätts i svängning, en sträng, ett trästycke, ett rör eller luften i ett rör. En kort sträng åstadkommer en hög ton och en lång sträng ger en djup ton, alltså ju snabbare svängningarna är desto högre är tonen. På samma sätt är det med flöjtens rör, men där är det ju luften i röret som sätts í svängning. Det var i och med detta som grunden lades till den så kallade harmoni läran. Pythagoras förundrades över att den musikaliska upplevelsen har ett så direkt samband med strängarnas eller till exempel flöjtrörens längder. Det är ju märkligt att halva strängen ger en ton som liknar hela strängens men i ett högre läge. Pythagoras upptäckte att ju enklare det talmässiga förhållanden mellan till exempel strängarnas längd är desto skönare klingar tonerna tillsammans och desto vackrare blir melodierna. I vår kultur använder vi oss av en skala med sju (7) toner, den därpå följande åttonde (8) sluter bara förloppet, men uppfattas samtidigt som ett nytt avsnitt av skalan, det vi kallar - en oktav. När en ton ligger en oktav högre än en annan uppfattas de båda som "samma" ton, men ingen har lyckats med att förklara varför. När vi sjunger och man kommer till gränsen för vårt tonomfång bryter vi egentligen inte melodin om vi går upp eller ner en oktav. Pythagoras förkortade strängen till 2 / 3 av dess ursprungslängd, den nya tonen låg då exakt en kvint högre än den ursprungliga. Två (2) toner som skiljs åt av en kvint anses vara ett av de få tonpar som klingar vackert både om de slås an samtidigt och efter varandra. Ett annat harmoniskt intervall är en kvart. Den får vi fram genom att förkorta strängen till 3 / 4 av dess ursprungslängd. Pythagoras upptäckte att hela skalan är knuten till talvärlden och kan uttryckas som ett förhållande mellan de första talen i en enkel talserie. Flera kända klassiska tonsättare har mer eller mindre förtäckt byggt sina verk kring det gyllene snittet, däribland Bach och Debisy. 9. Arkitektur Senare tiders arkitekter studerade antikens byggnadsverk, de läste Platon och de andra klassikerna. Sedan ritade de hus där fasadernas delar och helheter var gyllene rektanglar. Rummens längd bredd och höjd stod i enkla förhållanden till varandra. Många av de gyllene samband vi ser i dag kanske mer har sitt ursprung i arkitekternas skönhetssinne än i ett medvetet utnyttjande av de gudomliga proportionerna. Genom att ordna detaljerna på en mur eller en vägg enligt det gyllene snittets principer kan man nästan "styra" blickens rörelser över ytan. Men det är inte alltid som man använt det gyllene snittet och tyckt bra om det, vid en internationell kongress 1951 försökte man till och med avskaffa det gyllene snittet. Men som tur var lyckades man inte med detta. Den schweizisk-franske arkitekten Charles Edouard Jenneret hade den utmanande idén att husen han ritade verkligen skulle passa för de människor som skulle använda dem. De skulle inte bara vara vackra att se på utifrån och inifrån utan de skulle också ha dimensioner att rent fysiskt passa. Då är det ända riktiga att använda människokroppen som "måttstock" för rummen längd, bredd och höjd. Formen för dörrar, fönster och trappor skulle också anpassas efter kroppen. Han lyckades få en del uppdrag så att man kunde se vad han menade. Han blev sedan en av vår tids störste arkitekter och kallade sig för Le Corbusier. Grundstammen för hans system utgick från det gyllene snittet, med längden på en genomsnittligt lång person med uppsträckt arm som måttstock. När denna längd delades in efter det gyllene snittet passade måtten till människor i alla möjliga ställningar (se bilaga 9). Han kallade sitt system moduler - den gyllene modulen. Men när byggelementen standardiserades valde man inte Le Corbusiers moduler som standard. Därför har hans moduler blivit för dyra att arbeta med i dagens läge. Men fortfarande präglar många av hans idéer dagens arkitekter. 10. Det gyllene snittet i konst mm Man kan säga att snittet "åter upptäcktes" under renässansen. Det var Leonardo da Vinci som gav, det grekerna kallade snittet, namnet ´det gyllene snittet´. Renässansens målare var dessutom mycket intresserade av matematik. Leonardo ansåg dessutom att en harmoniskt byggd man skall vara "uppdelad" efter det gyllene snittet. Förhållandet mellan hela längden och avståndet mellan foten och naveln skall vara lika det som är mellan foten och naveln och naveln och huvudet. Det finns även andra proportioner i människokroppen efter det gyllene snittet. För att bara nämna några : Förhåller sig avstånden mellan huvudet - naveln och halsen - naveln så som huvudet - halsen och halsen - naveln. Många kända konstnärer har "delat in" sina bilder i olika delar efter det gyllene snittet. Ett av de mest kända konstverken är Botichellis ´Venus födelse´ (se bilaga 10 där det gyllene snittet delat in bilden i fyra stora rektanglar, fyra avlånga rektanglar och en liten rektangel). Hela bilden ger ett intryck av fart och rörelse. Venus själv, central i bilden, "stöttas upp" av det gyllene snittets lodräta linjer. Hennes armbåge "vilar" mot en av de gyllene skärningspunkterna. Hon lutar huvudet så att hennes tinning hamnar längs samma lodräta mittlinje som hennes vänstra tåspets (den vi ser till höger). Den övre vågräta linjen sammanfaller med horisonten. Detta ger en slags "balans" mitt i all fart och fläkt. 11. Sammanfattande slutsats Att läsa om det gyllene snittet har varit som att få en glimt av universums gåtor. Allt verkar, som jag skrev i inledningen, hänga ihop med - och av tal. Är allt i världen tal ? Är Gud ett tal ? Är det inte talen som är vår tids vetenskap ständigt söker ?! Jag tycker att det är mycket intressant att läsa om matematikens utveckling, om hur redan de gamla grekerna löste problem som än i dag anses vara mycket svåra. Det är intressant att se att det gyllene snittet "kommer igen" på de mest oväntade ställen, så som tändsticksaskar och cigarrettpaket. Genom flera tusen år har människan medvetet eller omedvetet använt SAMMA proportioner på saker som man tillverkat. Men varför har man genom alla tider tyckt att just dessa proportioner är vackra ? Jag undrar varför det inte uppkommit nya proportioner som nuförtiden anses vackra. Det är mystiskt att inte proportionerna har "ryckts med" i någon slags "mode våg", men modet kan ju inte ändra sig hur mycket som helst och förmodligen kommer man även långt in i framtiden tycka att det gyllene snittet är den vacker proportion. 12. Källförteckning Aaboe Asger, Antikens matematik ...,1964 Blake Peter, Le Corbusier - Architecture and form, 1960 Dahl Kristin, Den fantastiska matematiken, 1991 Dantzig Tobias, Talen - vetenskapens språk, 1930 Faber Tobias, Rum, form og funktion, 1962 Hall Tord, Matematikens utveckling, 1970 Karush William, Matematisk uppslagsbok, 1962 Le Corbusier, Den nya staden, 1969 Le Corbusier, Vår bostad, 1936 Råde Lennart, Alfa - Matematisk handbok, 1982 Struik Dirk J., Matematikens historia, 1948 Specialarbete om det gyllene snittet av Fredrik Börjesson 1994 tolfte månadens slut är man uppe i 377 par. De tal, som vid varje månads slut anger den totala avkomman är alltså Fibonaccis tal. En märklig egenskap hos Fibonaccis tal är att om man kvadrerar dem så får man (om den första termen utelämnas) 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441, 1156, .... ; om nu på varandra följande tal adderas, blir resultatet en delföljd av Fibonaccis följd ; 5, 13, 34 ,89, 233, ...